Recibido: 18-07-2025 - Aceptado: 16-01-2026 - Publicado: 26-01-2026
Liliana Moreno Mercado 1 Wendy Arrieta Padilla 2
El presente articulo deviene de un trabajo de investigaci orientada al análisis de idoneidad didáctica de los centros de aprendizaje relacionados con la estructura aditiva en el libro Prest Matemáticas para grado tercero del Ministerio de Educaci de Colombia. Se adopta una metodología cualitativa, de tipo documental, con dise de estudio de caso instrumental, fundamentado en el Enfoque Ontosemiico del Conocimiento y la Instrucci Matemática (EOS). Se analizaron los centros 4 y 5 del cuadernillo del estudiante, identificando prácticas, objetos, procesos y significados vinculados a las
estructuras aditivas. Los resultados muestran un nivel de idoneidad didáctica medio-bajo, con predominio de problemas de combinaci y algunos de cambio, escasa diversidad de estructuras, poca explicitaci conceptual y limitaciones en la articulaci de representaciones. Además, se evidencidebilidad en la argumentaci y escaso desarrollo de las dimensiones afectiva e interaccional. Se concluye que los centros requieren ser redisedos seg los criterios del EOS,
con el fin de potenciar su valor formativo y fortalecer la enseñanza
del pensamiento aditivo.
1 Magister en Educacin (en proceso), Universidad de Sucre. Docente en primera Infancia, Institucin Educativa Técnico Agropecuario Don Gabriel, Sucre, Colombia. ORCID: https://orcid.org/0009-0000-5796-4108; email: lilimormer@gmail.com
2 Magister en Educaci, Universidad de Sucre. Docente adscrita al departamento de Matemática, Universidad de Sucre, Sincelejo, Colombia. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3848-6996 ; email: wendy.arrieta@unisucre.edu.co
Palabras clave: Estructura aditiva, Libros de texto escolares, Centros de aprendizaje, Idoneidad didáctica, Pensamiento matemático.
Didactic suitability of learning centers on additive structure in the book Prest Mathematics third grade in primary education in Colombia
This research analyzes the didactic suitability of learning centers related to the additive structure in the Prest Mathematics textbook for third grade. A qualitative, documentary methodology is adopted, with an instrumental case study design, based on the Ontosemiotic Approach to Knowledge and Mathematical Instruction (EOS). Centers 4 and 5 of the student booklet were analyzed, identifying practices, objects, processes, and meanings linked to additive structures. The results show a medium-low level of didactic suitability, with a predominance of combination problems and some change problems, limited structural diversity, poor conceptual explanation, and limitations in the articulation of representations. Furthermore, weak argumentation and
poor development of the affective and interactional dimensions were
evident. It is concluded that the centers require redesign according to
EOS criteria, in order to enhance their formative value and strengthen
the teaching of additive thinking.
Keywords: Additive structure, School textbooks, Learning centers,
Didactic suitability y Mathematical thinking
Adequação didática dos centros de aprendizagem sobre estrutura aditiva no livro Prest Matemática 3º ano no ensino fundamental na Colbia
Esta pesquisa analisa a adequação didática dos centros de aprendizagem relacionados à estrutura aditiva no livro didático Prest Mathematics para o terceiro ano. Adota-se uma metodologia qualitativa, documental, com um delineamento de estudo de caso instrumental, baseado na Abordagem Ontossemiica do Conhecimento e da Instrução Matemática (EOS). Os centros 4 e 5 do livro
didático do aluno foram analisados, identificando práticas, objetos, processos e significados vinculados às estruturas aditivas. Os resul
tados mostram um nível médio-baixo de adequação didática, com predominância de problemas de combinação e alguns problemas de mudança, diversidade estrutural limitada, explicação conceitual pobre e limitaçs na articulação das representaçs. Além disso,
foram evidentes argumentação fraca e desenvolvimento deficiente
das dimenss afetiva e interacional. Conclui-se que os centros precisam ser redesenhados de acordo com os critérios da EOS, a fim de aumentar seu valor formativo e fortalecer o ensino do pensamento aditivo.
Palavras-chave: Estrutura aditiva, Livros didáticos escolares, Centros de aprendizagem, Adequação didática, Pensamento matemático
El libro de texto es considerado un recurso primordial en la ensenza de las matemáticas en la educaci primaria. Su uso está ampliamente extendido entre los docentes, quienes lo emplean como base para estructurar sus clases y orientar las actividades de aprendizaje en el aula (Hansen, 2018). Lejos de limitarse a ser un compendio de contenidos, cumple la funci de puente
entre el currículo oficial y la práctica pedagógica, influyendo directamente en
qué y co se ense. Esta funci mediadora resalta la importancia de las decisiones editoriales y didácticas tomadas en su dise, ya que inciden de
manera significativa en los aprendizajes del estudiante,la calidad del proceso
educativo y el fortalecimiento de habilidades matemáticas fundamentales (Tarin & Tárraga, 2021). Diversos estudios han evidenciado co la calidad de las actividades
propuestas en los libros de texto influye en los procesos de enseñanza y
aprendizaje de conceptos fundamentales como las operaciones aditivas (Rezat & Strässer, 2020; Fan et al., 2018). En particular, se ha destacado la importancia de analizar el potencial didáctico de estos materiales no solo desde una perspectiva algorítmica, sino considerando su capacidad para
promover la comprensión conceptual, el uso flexible de representaciones y
la resoluci de problemas diversos (Valverde et al., 2019). Así mismo, investigaciones recientes insisten en la necesidad de integrar marcos teicos para evaluar la idoneidad de las propuestas instruccionales (Godino & Font, 2021; Planas et al., 2022), destacando el Enfoque Ontosemiico del Conocimiento y la Instrucci Matemática (EOS) como una herramienta metodolica para dicho análisis.
Este estudio se centra en el análisis de los centros de aprendizaje 4 y 5 del cuadernillo del estudiante del libro “PREST Matemáticas Grado 3°”, con el fin de identificar los objetos y procesos matemáticos movilizados, la configuración didáctica que presentan los centros y valorar el nivel de idoneidad que presentan de acuerdo al EOS y con los referentes de calidad, incluyendo los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) y los Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006).
La interrelaci entre estos elementos permite valorar la coherencia epistemolica, cognitiva y mediacional de las propuestas didácticas, reconociendo su impacto en la construcci de esquemas de pensamiento aditivo en los estudiantes (Vergnaud, 2009). En este sentido, es fundamental examinar no solo la presencia de las estructuras aditivas —combinaci, cambio, comparaci e igualaci— sino también la forma en que estas se presentan, se contextualiza y se diversifican en el diseño de las tareas (Fuson et al., 2015; Ball & Bass, 2019).
Estudiar estos componentes resulta crucial para comprender hasta qué punto los recursos didácticos propuestos en el texto escolar favorecen una enseñanza significativa de las estructuras aditivas, alineada con los principios de una educaci matemática para la comprensi, la argumentaci y la equidad (Planas & Civil, 2021). A partir de este análisis se busca aportar criterios didácticos que orienten tanto el redise de materiales educativos como la formaci docente inicial y continua.
El objetivo de este trabajo es analizar el grado de idoneidad didáctica de los centros de aprendizaje 4 y 5 del libro “PREST Matemáticas Grado 3°” en relaci con la ensenza de las estructuras aditivas, valorando los objetos matemáticos, las representaciones utilizadas, la diversidad y complejidad de las tareas, y su alineaci con los referentes curriculares, desde la perspectiva del Enfoque Ontosemiico del Conocimiento y la Instrucci Matemática.
El libro de texto escolar de matemáticas desempe un papel fundamental en el ámbito educativo, ya que act como una guía para docentes y estudiantes, estructurando los contenidos y las actividades de aprendizaje de manera sistemática. Seg lo planteado por Lez y Rico (2019), los libros de texto sonherramientas didácticas quereflejandecisiones curriculares, pedagógicas y disciplinares. Estas herramientas permiten organizar el conocimiento en un formato accesible para los diferentes actores del proceso educativo. En este sentido, los libros de texto no solo cumplen la funci de transmitir informaci, sino que también sugieren prácticas pedagicas y metodolicas que influyen directamente en la manera en que se enseñan las matemáticas.
De este modo, es fundamental establecer criterios precisos para la selecci de los libros de texto que utilizarán los estudiantes, ya que estos materiales no solo cumplen la funci de “conservar y transmitir” el conocimiento matemático (Cid et al., 2004), sino que también se convierten en herramientas para resolver problemas, recordar definiciones y repasar propiedades esenciales. Su papel como referencia convierte al libro de texto en un recurso indispensable tanto para el aprendizaje automo como para el trabajo guiado por el docente, facilitando la conexi entre teoría y práctica en el proceso educativo.
Entre las principales funciones de los libros de texto se encuentran la or
ganización lógica de los contenidos, la comunicación del currículo oficial, la
evaluaci del progreso estudiantil y la promoci de habilidades matemáticas mediante la práctica sistemática. Además, los libros de texto son un valioso objeto de análisis, ya que permiten evaluar co se interpreta y traduce el currículo en propuestas concretas de ensenza (Valverde et al., 2019). Este análisis permite centrarse en aspectos como la estructura y organizaci de los contenidos, los enfoques pedagicos implícitos, las representaciones matemáticas utilizadas y la incorporaci de perspectivas que fomenten la equidad y la diversidad en el aula, entre otros aspectos acordes a lo planteado en los lineamientos curriculares de matemáticas.
No obstante, diversos estudios advierten sobre las limitaciones que los libros de texto pueden imponer. Es decir, pueden restringir la creatividad docente al perpetuar prácticas tradicionales (Martín et al., 2018). Además, es posible que presenten sesgos culturales o disciplinarios que impacten negativamente en la ensenza. Del mismo modo, Vasco (1989) enfatiza que, una vez seleccionado un texto, surgen nuevos desafíos en su utilizaci. Con frecuencia, el libro de texto se convierte en el currículo real, lo que dificulta la implementación de renovaciones curriculares hasta que estas se reflejen en nuevos materiales y sean adoptadas ampliamente por instituciones educativas y docentes.
Por lo tanto, los libros de texto reflejan las interpretaciones del currículo realizadas por las editoriales y los autores. Este hecho los convierte en una herramienta crucial para evaluar la traducción del currículo oficial en propuestas concretas de ensenza.
En este sentido, existen diversas perspectivas y herramientas teicas que ofrecen marcos para analizar el uso pedagico y didáctico de los libros de texto. Una de estas herramientas es el Enfoque Ontosemiico (EOS), que permite determinar la idoneidad didáctica de los materiales y proponer mejoras desde orientaciones curriculares, didácticas y epistemolicas. Esto resulta especialmente oportuno para la ensenza de conceptos como las estructuras aditivas, ya que contribuye a atender las necesidades de los estudiantes en contextos diversos y promueve una ensenza más inclusiva y contextualizada.
Para el análisis de la actividad matemática desde el Enfoque Ontolico-Semiótico (EOS), se identifican seis tipos fundamentales de objetos matemáticos: problemas o situaciones, lenguajes, definiciones, proposiciones, procedimientos y argumentos. Estos objetos se organizan en configuraciones, entendidas como redes interconectadas que emergen de los sistemas de
prácticas matemáticas,reflejando las relaciones que se establecen entre ellos. Las configuraciones de objetos matemáticos pueden analizarse desde dos
perspectivas principales: la dimensi epistémica, que se centra en el estudio del conocimiento institucionalizado y su estructura, y la dimensi cognitiva, enfocada en los procesos individuales de comprensi y aprendizaje (Godino et al., 2007). El Este análisis posibilita una mirada más detallada de co los
significados matemáticos se construyen y consolidan en contextos educativos.
Según Godino et al. (2004) el EOS introduce herramientas como las configuraciones y trayectorias didácticas para evaluar la idoneidad de un proceso
de enseñanza. Las configuraciones didácticas se definen como sistemas
de relaciones que incluyen objetos matemáticos, funciones semiicas y los
significados generados durante la resolución de tareas. Por su parte, las
trayectorias didácticas describen la evoluci temporal de los estados de
las dimensiones consideradas, como la trayectoria epistémica (significados
institucionales), docente (acciones del profesor) y discente (acciones del estudiante).
Estas herramientas permiten identificar los elementos que intervienen en el
proceso didáctico, tales como situaciones-problemas, recursos tecnolicos
y patrones de interacción. Además, el EOS facilita la detección de conflictos semióticos derivados de la discrepancia entre los significados pretendidos
e implementados en el aula, promoviendo estrategias para su resoluci.
El modelo de análisis didáctico propuesto por Font et al. (2010) propone cinco niveles para estudiar los procesos de instrucci matemática adaptado de los niveles del enfoque Ontosemiico:
Figura 1. Niveles de análisis didáctico seg el Enfoque Ontosemiico (EOS) Nota. Proceso de análisis didáctico seg el EOS. Adoptado de Burgos et al. (2023); Font et al. (2010); Godino et al., (2007).
Las herramientas descritas son aplicables tanto al análisis de un proceso de estudio específico llevado a cabo durante una sesión de clase, como a la planificación o ejecución de una unidad didáctica. Además, pueden emplearse en un contexto más amplio, como el dise de un curso o una propuesta curricular. Asimismo, resultan iles para analizar aspectos particulares de un proceso de estudio, como materiales didácticos, manuales escolares, respuestas de los estudiantes ante tareas concretas, o “incidentes didácticos” específicos (Godino et al., 2006).
En este sentido, el enfoque del análisis didáctico permite avanzar desde el estudio situaciones problemáticas (o el concepto y su estructura conceptual) hacia la configuración epistémica y cognitiva, avanzando posteriormente hacia la configuración didáctica. Esta última abarca no solo el conocimiento y los sujetos involucrados, sino también el rol del docente, los recursos empleados y las interacciones entre los distintos (Godino et al., 2006).
Según Godino et al. (2007) la idoneidad didáctica se define como el grado de coherencia y efectividad en la articulaci de las dimensiones implicadas en un proceso de ensenza-aprendizaje. Cada dimensi se eval mediante indicadores específicos:
• Epistémica: valora en qué medida los significados institucionales implementados o propuestos representan de manera adecuada los significados
de referencia.
• Cognitiva: Indica si los significados propuestos se sitúan dentro de la zona
de desarrollo potencial del estudiante y si los aprendizajes logrados se
aproximan a los significados esperados.
• Afectiva: considera el nivel de implicaci del alumnado en términos de interés, motivaci y disposici hacia el estudio. Esta dimensi está in
fluenciada tanto por factores institucionales como por la trayectoria escolar
previa de cada estudiante.
• Interaccional: se valora la idoneidad de las configuraciones y trayectorias didácticas en la medida en que permiten anticipar conflictos semióticos y
ofrecer oportunidades para resolverlos durante el proceso de instrucci.
Figura 2. Componentes y facetas de la Idoneidad didáctica Nota: Representaci visual de la Idoneidad didáctica. Fuente. Godino (2013)
Estas idoneidades deben ser integradas teniendo en cuenta las interacciones entre las mismas, lo cual requiere hablar de la idoneidad didáctica como criterio sistémico de pertinencia (adecuaci al proyecto de ensenza) de un proceso de instrucci, cuyo principal indicador empírico puede ser la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes y los significados institucionalespretendidos/implementados (Godino etal.2005).
La noci de idoneidad didáctica puede utilizarse para analizar un proceso
de estudio específico desarrollado durante una sesión de clase, para planificar
o diser una unidad didáctica, o incluso para abordar el desarrollo integral de un curso o propuesta curricular. Asimismo, resulta valioso para examinar elementos concretos dentro de un proceso educativo, como materiales didácticos, manuales escolares, respuestas de los estudiantes a actividades
específicas o situaciones puntuales denominadas “incidentes didácticos”
(Godino, 2013).
De acuerdo con el EOS, alcanzar y evaluar una alta idoneidad didáctica en un proceso de estudio es una tarea de gran complejidad, ya que implica mtiples dimensiones, cada una compuesta por diversos elementos. En este sentido, se propone una serie de indicadores para las diferentes idoneidades parciales y las interacciones entre ellas. Estos indicadores pueden actuar como referencia o guía tanto para diser como para valorar acciones
formativas, ya sean planificadas o implementadas en la práctica educativa.
Se incorpora el componente vinculado con las situaciones-problema, para el cual se establecen los siguientes criterios: presentar un conjunto representativo y coherente de actividades de contextualizaci, ejercitaci y aplicaci, así como promover la problematizaci mediante la formulaci de nuevos problemas. Desde la perspectiva EOS, las situaciones-problema adquieren un papel fundamental, en tanto que, bajo una concepci antropolica de la matemática, los objetos matemáticos surgen de las prácticas de los sujetos al enfrentarse a estas situaciones.
En este sentido, alcanzar un nivel elevado de idoneidad epistémica depende, en gran medida, de la adecuada selecci y adaptaci de tareas o problemas significativos. No obstante, el EOS subraya que, además de las situaciones-problema, es necesario atender a las mtiples representaciones y medios de expresi —en coherencia con los aportes de Duval (1996)—,
así como a las definiciones, procedimientos, proposiciones y justificaciones
que se ponen en juego.
De este modo, las tareas propuestas han de ofrecer a los estudiantes distintas posibilidades de resoluci, involucrar diversas formas de repre
sentación y exigir procesos de conjetura, interpretación y justificación de las
soluciones alcanzadas.
Respecto a la idoneidad cognitiva, el EOS concibe el aprendizaje como
el proceso mediante el cual los estudiantes se apropian de los significados
institucionales previstos, a través de su participaci en la comunidad de práctica que se construye en el aula.
Este proceso supone una aproximación gradual entre los significados personales de los estudiantes y los significados institucionales establecidos en la planificación docente.Dichos significados se interpretan como prácticas de carácter operativo y discursivo, lo que a su vez implica identificar y articular los objetos matemáticos involucrados en esas prácticas (Godino et al., 2009).
La idoneidad ecolica es la medida en que el proceso de estudio se adapta al proyecto educativo del centro, las normas curriculares y el entorno social, etc. (Breda et al., 2016, p.7). implica las relaciones del contenido matemático con otras disciplinas, y los factores curriculares, socio-profesionales, políticos, econicos que condicionan los procesos de instrucci matemática (Godino, 2013).
La idoneidad afectiva o emocional incluye los conocimientos sobre los aspectos afectivos, emocionales, actitudinales y creencias de los estudiantes con relaci a los objetos matemáticos y al proceso de estudio seguido. El punto central de la idoneidad afectiva es la implicaci, interés y motivaci de los estudiantes en el proceso de estudio (Godino, 2013).
Este componente atiende a la existencia de propuestas que incentive al
estudiante a justificar sus respuestas en un clima de igualdad, reconociendo
y valorando sus ideas. También contempla la inclusi de actividades que estimulen el trabajo colaborativo, la participaci activa y la aceptaci de estrategias y soluciones diversas. Del mismo modo, se revisa si el libro de texto propicia en los alumnos una disposici abierta para explorar diferentes enfoques matemáticos y recurrir a métodos alternativos en la resoluci de problemas (Rey & Penalva, 2002; Santaolalla, 2014).
El empleo de materiales didácticos en el aula contribuye no solo a
facilitar la comprensión de conceptos complejos, sino también a influir
positivamente en las actitudes y creencias de los estudiantes, promoviendo una disposici favorable hacia el aprendizaje y estimulando su motivaci para participar de manera activa en las actividades académicas (González y Lez, 2020).
La resoluci de un problema matemático implica una dimensi afectiva para la persona que lo enfrenta. En este proceso, no solo se emplean prácticas operativas y discursivas para buscar soluciones, sino que también entran en juego creencias, actitudes, emociones y valores que influyen, en mayor o menor medida, en la respuesta cognitiva necesaria (Godino, 2013).
El punto clave para la idoneidad interaccional es la negociaci de significados, los significados institucionales de referencias que se pretende que los estudiantes aprendan, pero los estudiantes tienen unos significados iniciales que debemos tener en cuenta y haya una cierta negociaci para que progresivamente los estudiantes se vayan apropiando de esos significados institucionales pretendidos (Godino, 2013).
Se refiere a la interacción entre el autor y el estudiante, considerando que, en los textos tradicionales, dicha interaccin no es bidireccional. En este marco, se valora si los contenidos están organizados y presentados de manera clara, con un énfasis adecuado en los conceptos fundamentales mediante estrategias específicas. Además, se analiza si el vocabulario empleado es accesible, si las ilustraciones cumplen con estándares de calidad gráfica y propito, y si se incluyen ejemplos diversos y comprensibles (Castillo et al., 2021).
En ese sentido, la interacci entre los estudiantes se fomenta a través de tareas que favorecen el intercambio de ideas y comunicaci, a la vez que
contemplan la organización flexible de los grupos. Igualmente, se destacan
aquellas situaciones que permiten a los alumnos expresarse con naturalidad, mostrarse activos y participativos, favoreciendo el desarrollo de la autonomía intelectual necesaria para resolver problemas reales y adaptarse a nuevas situaciones.
En relaci con la evaluaci formativa, esta debe incluir formas de eva
luación continua a lo largo de la lección, no limitándose únicamente al final,
ya que estas técnicas sirven como retroalimentaci para los estudiantes.
Asimismo, resaltan la importancia de que los libros de texto incorporen diversas técnicas de evaluaci alineadas con las metas de aprendizaje (Godino et al. 2012).
Se refiere al grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de ensenza-aprendizaje (Godino, 2013).
De acuerdo al uso de recursos y materiales, se valora en qué medida el libro de texto incentiva la incorporaci de materiales complementarios. También, se analiza si las tareas propuestas son pertinentes y requieren el uso de herramientas como calculadoras, software o programas, y si estas se presentan de manera explícita y diversificada.
Respecto al componente de tiempo, se valora si la distribuci temporal es adecuada para abordar los contenidos más complejos y si, en términos generales, la planificación de actividades y contenidos es factible (Castillo et al., 2021).
Las estructuras aditivas son definidas como:
Campo conceptual que engloba un conjunto de situaciones cuya resoluci requiere la utilizaci de operaciones como la adici, la sustracci o una combinaci de ambas. Estas situaciones están íntimamente relacionadas con conceptos, procedimientos y representaciones que varían en naturaleza y complejidad. (Vergnaud, 1983, p. 128)
Este campo no solo implica la aplicaci operativa, sino también la conceptualizaci articulada de las relaciones numéricas y sus propiedades.
De acuerdo con la teoría de los campos conceptuales, el desarrollo de un concepto no se limita a un ico tipo de situaci, ni las situaciones pueden analizarse con un ico concepto. Por ello, las estructuras aditivas requieren un enfoque progresivo y diverso, donde las relaciones entre conceptos y situaciones se exploran a lo largo del tiempo (Moreira, 2002).
De acuerdo con Vergnaud (1990), existen diversos tipos de operaciones aditivas y sustractivas que, en general, no se abordan de manera habitual ni en la educaci primaria ni en la secundaria. Sin embargo, estas son fundamentales, ya que los niveles de dificultad entre los distintos casos presentan grandes diferencias. En el ámbito escolar, este objeto matemático suele centrarse en la operatividad, la comprensi y la aplicaci de algoritmos, dejando de lado procesos más complejos.
La complejidad de los problemas de tipo aditivo depende de las distintas categorías de relaciones numéricas y de los diferentes tipos de problemas que pueden formularse dentro de cada categoría. Además, Vergnaud señala otros elementos que influyen en estos problemas, como la facilidad relativa del cálculo numérico, la disposici y organizaci de la informaci presentada, así como el tipo de contenidos y relaciones que se consideren.
-Transformaci (cambio o combinaci temporal). Estas relaciones implican un cambio en una cantidad inicial debido a una transformaci, que puede ser positiva (incremento) o negativa (decremento). La situaci implica cómo la cantidad cambia de un estado inicial a uno final. Por ejemplo:
Problema simple: “Luis tenía 8 manzanas y compr5 más. ¿Cuántas tiene
ahora?”
Estado inicial: 8 manzanas.
Transformaci positiva: +5 manzanas.
Estado final: 13 manzanas.
Este tipo de problemas introduce la noci de suma como una forma de modelar incrementos y la resta para modelar decrementos. Aquí se trabaja el esquema de transformaci y evoluci en el tiempo.
-Composici (parte-todo). Implica establecer una relaci aditiva entre partes que conforman un conjunto total, sin que exista transformaci o cambio temporal. Los términos involucrados no hacen referencia a una evoluci en el tiempo, sino a una relaci estática entre cantidades coexistentes. Por ejemplo:
Problema simple. En una caja hay 4 bolas rojas y 6 azules. ¿Cuántas bolas hay en total?
Forma: parte + parte = todo Aquí se estructura la idea de la adici como combinaci de conjuntos disjuntos. -Comparacin (diferencia entre dos cantidades). Estas relaciones involucran la comparaci de dos cantidades para determinar la diferencia entre
ellas o identificar cuál es mayor o menor. Por ejemplo:
“Ana tiene 15 lápices y Pedro tiene 9. ¿Cuántos lápices más tiene Ana que Pedro?”
Forma: mayor cantidad − menor cantidad = diferencia
Cantidad mayor: 15 (Ana).
Cantidad menor: 9 (Pedro).
Diferencia: 6 lápices.
Los problemas de comparaci introducen el concepto de resta como una operaci que mide la diferencia entre dos cantidades. También pueden incluir situaciones con cantidades negativas, dependiendo del nivel del estudiante.
-Igualaci (equilibrio de dos cantidades con compensaci). Estas situaciones se centran en mantener un balance o equivalencia entre dos lados de una relaci. Por ejemplo:
Pedro tiene 3 canicas y quiere tener las mismas que Juan, que tiene 7. ¿Cuántas necesita?
Forma: cantidad inicial + compensaci = cantidad a igualar
Es una situaci más compleja que exige un razonamiento inverso.
Ejemplo 2 “Si tengo 10 monedas en un lado de una balanza y quiero equilibrarla con 7 monedas en el otro lado, ¿cuántas más necesito adir al
segundo lado?”
Lado 1: 10 monedas.
Lado 2: 7 monedas + X.
Soluci: X = 3 monedas.
Estas situaciones son iles para introducir conceptos algebraicos básicos como la igualdad y el equilibrio.
En el contexto anterior, Vergnaud (1990) sela que los estudiantes progresan a través de estas categorías conforme desarrollan esquemas más complejos. Cada categoría introduce diferentes niveles de abstracci y esquemas operatorios, lo que implica que los problemas deben plantearse de manera gradual para promover un aprendizaje significativo. En la tabla 7 se abordan algunos ejemplos de esta clasificación.
La ensenza de las estructuras aditivas en una lecci o unidad didáctica requiere un enfoque que integre los principios de progresi conceptual, diversidad de situaciones y activaci de esquemas. Desde la perspectiva de Vergnaud (1990), las estructuras aditivas no solo deben considerarse como operaciones matemáticas, sino también como un conjunto de relaciones que modelan diversas situaciones problemáticas. Por ello, el dise de la ensenza debe atender a los siguientes aspectos:
Tabla 1. Clasificaci de los problemas aritméticos seg Vergnaud
| Relaci | Descripci | Ejemplo | Comentario |
|---|---|---|---|
| Relaciones de | Implican un cambio en una | “Luis tenía 8 manzanas y | Introduce la suma para |
| Transformaci | cantidad inicial debido a una transformaci positiva o negativa. | compr5 más. ¿Cuántas tiene ahora?” | modelar incrementos y la resta para modelar decrementos. |
| Relaciones de | Involucran la comparaci entre | “Ana tiene 15 lápices y Pedro | Introduce la resta como |
| Comparaci | dos cantidades para identificar diferencias o determinar cuál es mayor o menor. | tiene 9. ¿Cuántos más tiene Ana que Pedro?” | oper ac i par a m edir diferencias. |
| Relaciones de | Se relacionan con la combinaci | “En un parque hay 12 nis. | Refuerza la noci de suma |
| Composici | de partes para formar un todo o | Si 7 están en los columpios, | como combinaci y resta |
| de Cantidades | la descomposici del todo en partes constituyentes. | ¿cuántos están en el tobogán?” | como herramienta para encontrar partes faltantes. |
| Relaciones de | Se enfocan en mantener un | “Si tengo 10 monedas en un | Introduce conceptos |
| Equilibrio | balance o equivalencia entre dos lados de una relaci. | lado de una balanza y 7 en el otro, ¿cuántas necesito adir al segundo lado?” | algebraicos básicos como la igualdad y el equilibrio. |
Nota. Descripción de problemas aritméticos según la clasificación propuesta por Vergnaud.
En primer lugar, una lecci debe incorporar problemas que abarquen
las categorías de relaciones aditivas (transformación, estado inicial y final,
comparaci, composicin y equilibrio), que permita una progresi de los aprendizajes que conlleven a los estudiantes enfrentar desafíos acordes a su nivel de desarrollo. Por ejemplo, es aconsejable iniciar con problemas simples de transformaci para luego avanzar a problemas de equilibrio que introduzcan nociones algebraicas de manera gradual.
Además,losproblemasdeben situarse en contextos significativospara los estudiantes, ya que esto facilita la conexi entre los conceptos matemáticos y sus aplicaciones prácticas. Esta estrategia no solo permite la comprensi conceptual, sino que también mejora la motivaci y el interés de los estudiantes, aspectos esenciales para garantizar un aprendizaje efectivo.
Otro aspecto fundamental es la incorporaci de representaciones diversas, como manipulativos concretos, diagramas o líneas numéricas, y ecuaciones simbicas. Estas representaciones permiten a los estudiantes explorar las relaciones aditivas desde diferentes perspectivas y desarrollar esquemas transferibles, lo que enriquece su comprensi y aplicabilidad.
Por otro lado, las actividades deben diserse de manera que promuevan la resolución autónoma de problemas, invitando a los estudiantes a reflexionar sobre los procedimientos utilizados y los resultados obtenidos. De este modo, se fomenta el desarrollo de esquemas más robustos y la conceptualizaci de invariantes operatorios, pilares esenciales en el aprendizaje de las estructuras aditivas.
Asimismo, la evaluaci desempe un papel crucial. No debe centrarse icamente en la correcci de las respuestas, sino también en el análisis de los esquemas y estrategias que los estudiantes emplean para resolver los problemas. Esto permite identificar fortalezas y áreas que requieren refuerzo, orientando así el dise de intervenciones pedagicas más efectivas.
Por timo, es esencial atender a la diversidad en los niveles de comprensi de los estudiantes. Para ello, se deben ofrecer actividades diferenciadas y adaptaciones que permitan a todos los alumnos progresar en el dominio de las estructuras aditivas, respetando sus ritmos y estilos de aprendizaje.
Desde una perspectiva integral, una lecci o unidad didáctica sobre estructuras aditivas debe concebirse como una oportunidad para que los estudiantes no solo aprendan a operar, sino también a comprender las relaciones numéricas y los esquemas que las sustentan. En este sentido, la inclusi de problemas contextualizados, una secuenciaci adecuada y el uso de estrategias que fomenten el pensamiento crítico y reflexivo se presentan como pilares fundamentales para el desarrollo del pensamiento matemático.
La presente investigaci se desarrollbajo un enfoque cualitativo, con un dise de estudio de caso instrumental (Stake, 2010), centrado en el análisis documental de dos centros de aprendizaje (Centro 4 y Centro 5) del cuadernillo del estudiante del libro PREST Matemáticas Grado 3°. El estudio de caso instrumental se emplecon el propito de comprender en profundidad cómo se configura la enseñanza de las estructuras aditivas a partir del análisis de estos recursos didácticos, considerados representativos de las prácticas promovidas en el contexto de la educaci básica primaria colombiana.
Para el análisis de los centros se adoptcomo marco teico-metodolico el Enfoque Ontosemiico del Conocimiento y la Instrucci Matemáticos (EOS), propuesto por Godino et al. (2007). Este enfoque permite valorar la idoneidad didáctica de una propuesta educativa a través de seis componentes interrelacionados: epistémico, cognitivo, afectivo, mediacional, interaccional y ecolico. La aplicaci del EOS como instrumento de análisis se ha utilizado y validado en mtiples investigaciones de carácter cualitativo en educaci matemática, raz por la cual se recurria una matriz analítica adaptada a cada componente de idoneidad.
El corpus documental estuvo conformado por las actividades propuestas en los Centros 4 y 5 del libro mencionado, los cuales fueron seleccionados por su relaci directa con el objeto matemático “estructura aditiva”.
Para garantizar la trazabilidad y validez del análisis, se utilizaron matrices
de codificación cualitativa donde se registraron los objetos matemáticos
explícitos e implícitos, los tipos de tareas, las representaciones semiicas
empleadas, la presencia de estructuras aditivas según la clasificación de
Vergnaud (2009), y el uso propuesto de material manipulativo.
Las matrices de codificación cualitativa se aplicaron para organizar las
evidencias de los centros 4 y 5 seg las dimensiones de idoneidad didáctica del Enfoque Ontosemiico. A cada descriptor se le asignuna valoraci en escala de 1 a 5, lo que permitiinterpretar el nivel de idoneidad didáctica:
| Promedio final | Nivel globalde idoneidad | Descripci general |
|---|---|---|
| 4.5 – 5.0 | Alto | Se cumplen ampliamente todos los descriptores del componente selados en la matriz. Las tareas, recursos e interacciones son coherentes, ricas, estructuradas y generan oportunidades de aprendizaje. |
| 3.5 – 4.4 | Medio alto | Se cumplen la mayoría de los descriptores selados en la matriz, con alta coherencia didáctica. Existen algunos aspectos a fortalecer o ajustar, pero no afectan la efectividad global de la propuesta. |
| Promedio final | Nivel globalde idoneidad | Descripci general |
| 2.5 – 3.4 | Medio | Se cumplen parcialmente los descriptores selados en la matriz. Hay presencia de buenas intenciones didácticas, pero también lagunas o limitaciones que reducen el impacto o el potencial de aprendizaje. |
| 1.5 – 2.4 | Medio bajo | Se cumple solo una parte mínima de los descriptores propuestos en la matriz. Las tareas o recursos pueden ser poco coherentes, repetitivas o limitadas en su alcance formativo. Se requieren mejoras consideraciones en la propuesta. |
| 1.0 – 1.4 | Bajo | No se evidencian los descriptores del componente seg lo planteado en la matriz. La propuesta carece de sentido didáctico, coherencia interna o adecuaci al aprendizaje matemático esperado. |
Identificación de objetos y procesos matemáticos presentes en
El análisis evidencique los Centros 4 y 5 priorizan la ensenza de la adici y sustracci mediante tareas que movilizan objetos primarios como neros naturales, valor posicional, y relaciones parte-todo. Se observuna fuerte presencia de estructuras de combinaci y cambio con transformaci directa, mientras que las situaciones de igualaci y comparaci fueron escasamente trabajadas. Esta limitada diversidad estructural afecta la riqueza semántica del campo conceptual aditivo (Vergnaud, 2009), lo cual ha sido subrayado por Heinze et al. (2022) como un obstáculo para el desarrollo de esquemas más complejos y flexibles. Además, los procesos matemáticos promovidos se centraron en la representaci y la ejecuci, con menor énfasis en la validaci o argumentaci, lo que limita el desarrollo de habilidades superiores como el razonamiento o la justificación.
A continuaci, se presenta la caracterizaci de algunas situaciones,
elaborada a partir del análisis realizado con base en la matriz de codificación
cualitativa.
Tabla 3. Análisis y caracterizaci de algunas situaciones propuestas en los centros 4 y 5
| Situaci | Tipo de relaci aditiva | Articulaci con la matriz de análisis |
|---|---|---|
| A Julia le gustaría visitar a su prima quien vive en otra ciudad. Como el viaje será muy largo, decide hacerlo en dos partes. En la primera parte del viaje, debe recorrer 438 km. En la segunda parte del viaje, debe recorrer 395 km. ¿Cuántos kiletros debe recorrer desde su casa para ir a la casa de su prima? (centro 4) | Combinaci | La situaci de Julia corresponde a un problema de combinaci en el que se suman dos distancias para obtener un total. Desde la dimensi epistémica, permite trabajar la estructura aditiva de manera coherente, mostrando la suma como acci de juntar partes, aunque se limita a un tipo de problema rutinario. En la dimensi cognitiva, favorece el desarrollo del cálculo con neros grandes y la puesta en práctica de estrategias de descomposici o del algoritmo estándar, por lo cual se valora como de nivel medio. En cuanto a la dimensi afectiva, el contexto del viaje aporta significado y motivación al aprendizaje, generando un nivel medio-alto de interés. A nivel interaccional, la tarea puede resolverse de forma individual o en colectivo, permitiendo la comparaci de diferentes estrategias de cálculo. Desde la perspectiva mediacional, el uso de material base 10, rectas numéricas o diagramas de trayectos enriquece la comprensi del valor posicional y la operatoria. Finalmente, en la dimensi ecolica, la situaci se ajusta a los referentes curriculares nacionales, ya que responde a los DBA y Estándares que promueven problemas de composici de cantidades. |
| De acuerdo con su | Comparaci | Corresponde a un problema de comparaci dentro de las estructuras |
| altitud sobre el nivel | aditivas, ya que busca establecer la diferencia entre dos cantidades. | |
| del mar, Bogotá | Desde la idoneidad epistémica, promueve la comprensi de la resta | |
| (Colombia) es la | como operador de comparación, un significado poco frecuente en los | |
| tercera capital más | textos escolares. En la idoneidad cognitiva, implica interpretar el | |
| alta en el mundo. | verbo “sobrepasa” y decidir la operaci adecuada, lo que demanda | |
| Se encuentra a | razonamiento más allá del cálculo directo. En la idoneidad afectiva, | |
| 2640 metros sobre | la referencia a capitales latinoamericanas acerca las matemáticas a | |
| el nivel del mar. | contextos geográficos reales, favoreciendo la motivación. En la idoneidad | |
| Quito (Ecuador), se | interaccional, la situaci abre espacio al debate sobre distintas formas de | |
| encuentra a 2850 | resolverla (resta directa, estimación o representaciones gráficas). Desde | |
| mts sobre el nivel | la idoneidad mediacional, puede enriquecerse mediante diagramas de | |
| del mar. ¿En cuántos | barras o rectas numéricas para representar la diferencia. Finalmente, en | |
| metros sobrepasa la | la idoneidad ecolica, guarda coherencia con los Estándares y los DBA, | |
| altitud de Quito a la | que orientan la resoluci de problemas de suma y resta en contextos de | |
| de Bogotá? (centro 5) | medida y comparaci | |
| En 1803 se efectu | Transformaci | El problema del Observatorio Astronómico se clasifica como una situación |
| la construcci | aditiva de transformaci que moviliza la resta para calcular la diferencia | |
| del observatorio | entre dos fechas. Desde la idoneidad epistémica, representa con | |
| astronico | coherencia el significado institucional de la resta; en lo cognitivo, plantea | |
| nacional de | unadificultadbaja-mediaalexigir reconocer datos relevantes y comprender | |
| Colombia. ¿Desde | la noci de tiempo transcurrido. Su resoluci puede apoyarse en recursos | |
| hace cuántos as | como rectas numéricas o líneas de tiempo, fortaleciendo la idoneidad | |
| podemos observar | mediacional, mientras que en lo interaccional fomenta la argumentaci y | |
| las estrellas en el | la validaci colectiva. El contexto histico-cultural refuerza la dimensi | |
| observatorio? | afectiva al despertar interés y mostrar la utilidad social de las matemáticas. | |
| (centro 5) | Finalmente, se articula con los lineamientos curriculares y los Estándares Básicos de Competencias, evidenciando su pertinencia ecolica y su contribuci al desarrollo del pensamiento numérico y métrico |
Configuración epistémica que presentan los centros
En términos de configuración epistémica, los centros mostraron una débil explicitaci de los conceptos clave y escasa articulaci entre los diferentes registros semiicos. Aunque se incluyeron representaciones picticas, simbicas y materiales manipulativos, estas no se integraron de manera que favorecieran la comprensi conceptual. Moreno-Armella (2018) advierte que, sin una mediaci intencionada, la presencia de mtiples representaciones no garantiza comprensi, y puede incluso generar confusi. Este hallazgo coincide con la valoraci realizada en el presente estudio, donde las tareas carecieron de una trayectoria didáctica que hiciera visibles los significados institucionales del conocimiento matemático, limitando así la idoneidad epistémica de la propuesta.
En el caso del Centro 4, centrado en la suma, se observun predominio de problemas de combinacin y transformaci directa, con escasa presencia de estructuras de comparaci o igualaci.
De manera similar, el Centro 5, orientado a la resta, enfatizsituaciones de transformaci directa con descomposici numérica, sin explorar con suficiente profundidad el razonamiento inverso ni variantes semánticas más complejas. Estaconfiguraciónrestringida limita la potencialidadde los centros para promover una comprensi del campo conceptual aditivo, tal como lo exige el desarrollo del pensamiento numérico en los primeros grados (Fuson et al., 2015; Heinze et al., 2022).
Los resultados del análisis evidenciaron que el grado de idoneidad didáctica de los Centros de Aprendizaje 4 y 5 del libro Prest Matemáticas para grado tercero se ubicen niveles medio y medio bajo, respectivamente, en la mayoría de las dimensiones evaluadas por el Enfoque Ontosemiico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS). Esto permitió identificar fortalezas puntuales, pero también limitaciones importantes en el dise y la implementaci didáctica de los centros analizados. Este aspecto se evidencia en la Figura 1, donde se representa el nivel de idoneidad didáctica por dimensiones seg el enfoque ontosemiico, destacando que las dimensiones epistémica, interaccional y ecolica obtuvieron puntuaciones medias o bajas (en una escala valorativa de 1 a 5).
Figura 4. Nivel de Idoneidad didáctica de los Centros de Aprendizajes Nota. Esta figura corresponde a la valoración consolidada de los niveles de idoneidad presentes en los centros de
aprendizajes. Fuente: Programa Excel.
A nivel epistémico, los centros no explicitan de forma sistemática los conceptos fundamentales involucrados —como el valor posicional, la equivalencia decimal o la operaci como transformaci— lo cual debilita la construcción de significados matemáticos. En este aspecto, coinciden con estudios recientes que advierten sobre la superficialidad con que los libros de texto tienden a presentar los conceptos matemáticos, privilegiando tareas cerradas sobre procesos de exploraci, argumentaci o generalizaci (Rezat & Strässer, 2020; Planas & Giménez, 2023).
Desde la dimensi cognitiva, se valorpositivamente la inclusi de ejercicios abiertos y situaciones que promueven el uso de estrategias propias. Sin embargo, estas oportunidades no siempre están acompadas por mediaciones didácticas explícitas que orienten al estudiante hacia una reflexión metacognitiva, lo que reduce el impacto formativo de dichas tareas. Investigaciones como la de Ball y Bass (2019) han subrayado la necesidad de tareas que no solo requieran ejecutar procedimientos, sino que fomenten la comprensi estructural de las operaciones.
En cuanto a la dimensi mediacional, si bien el uso del material base 10 representa una fortaleza, se evidenciuna ausencia de orientaciones precisas sobre co debe emplearse dicho recurso para favorecer la construcci conceptual. Este hallazgo coincide con lo reportado por Moreno-Armella (2018), quien advierte que los materiales concretos, sin una mediaci discursiva y representacional adecuada, pueden reducirse a un soporte técnico sin impacto formativo relevante.
La escasa presencia de conflictos matemáticos, interacciones reflexivas
o actividades de validaci entre pares afecta la dimensi interaccional, lo que se traduce en una práctica más centrada en la ejecuci individual que en la construcci colectiva del conocimiento, a pesar de que los Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006) y enfoques contemporáneos en didáctica de la matemática promueven el aula como comunidad de aprendizaje (Planas & Civil, 2021). En esta línea, la falta de actividades que fomenten la argumentaci, la formulaci de conjeturas o la validaci de soluciones limita el desarrollo del razonamiento matemático y la participaci crítica de los estudiantes.
Desde la idoneidad ecológica, se identificó una débil conexión entre las situaciones planteadas y los contextos significativos del entorno cultural o social del estudiante, lo cual restringe el sentido de pertinencia de los aprendizajes. Esta desconexi ha sido ampliamente selada por la literatura como una barrera para lograr aprendizajes significativos y equitativos en la educaci matemática (Gutiérrez, 2018; Planas & Civil, 2021).
Finalmente, los resultados de este análisis evidencian que, si bien los centros de aprendizaje analizados presentan algunos avances en términos de diversidad de formatos de tarea y uso de material concreto, su dise requiere ser fortalecido para alcanzar mayores niveles de idoneidad didáctica. Es indispensable avanzar hacia propuestas que diversifiquen las estructuras aditivas, estas no pueden reducirse a tareas repetitivas o meramente procedimentales; es necesario promover propuestas que articulen sentidos matemáticos, relaciones culturales y experiencias afectivas, promuevan la reflexión y la argumentación en coherencia con los principios de una educaci matemática crítica y situada
El análisis de los Centros de Aprendizaje 4 y 5 del cuadernillo PREST Matemáticas Grado 3° permitievidenciar que, si bien estos materiales incorporan elementos con potencial didáctico —como el uso del material base 10, tareas con cierta contextualizaci y propuestas abiertas— su dise presenta limitaciones importantes desde el punto de vista de la idoneidad didáctica. Predominan estructuras aditivas simples (combinaci y cambio directo), con escasa presencia de situaciones de comparaci e igualaci, lo cual restringe el desarrollo del pensamiento aditivo en su complejidad semántica.
Además, el análisis de la configuración epistémica mostró una débil explicitaci de los conceptos matemáticos y una escasa articulaci entre los distintos registros semiicos presentes en las tareas, una falta de progresi en el nivel de complejidad de las tareas, lo que limita la comprensi profunda de los objetos matemáticos involucrados. Aunque se incluye el uso de material base 10 y tablas de valor posicional, estos recursos no se integran en una trayectoria didáctica coherente que potencie la comprensin conceptual. Las tareas, en su mayoría, privilegian el procedimiento sobre la reflexión, lo cual limita el desarrollo de significados institucionales necesarios para una ensenza orientada al sentido y la argumentaci.
De este modo, el grado de idoneidad didáctica de los centros analizados es predominantemente medio-bajo. Las dimensiones cognitiva y mediacional presentan ciertos avances, pero se requiere fortalecer las dimensiones epistémica, interaccional, afectiva y ecolica para consolidar propuestas integrales. En este sentido, el estudio destaca la necesidad de revisar y rediser este tipo de propuestas didácticas para garantizar mayores niveles de idoneidad epistémica, cognitiva, interaccional y ecolica, tal como lo plantea el Enfoque Ontosemiico del Conocimiento y la Instrucci Matemática.
Finalmente, se recomienda fortalecer la configuración epistémica de los centros de aprendizaje, mediante la explicitación clara de los significados institucionales, el uso de ejemplos que evidencien propiedades matemáticas relevantes y la construcci guiada de relaciones fundamentales entre conceptos. Asimismo, se resalta la importancia de promover tareas que diversifiquen las estructuras aditivas, articulen las representaciones semióticas, fomenten la argumentaci y generen conexiones con los contextos reales del estudiante.
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